群と等質空間入門 ||||{Lie 微分幾何学微分幾何学 I

(1)

数学研究科

微分幾何学 I

理工学研究科

微分幾何学

————–

Lie _{群と等質空間入門}

田崎博之

1995年度

(2)

第 1 _{章積分多様体}

1.1 分布と積分多様体

定義 1.1.1 Mをn次元多様体とし、kを1≤k≤nを満たす自然数とする。Mの各点xに対して、Tx(M)のk次元部分ベクトル空間B_xを対応させる対応Bが次の(∗)を満たすとき、BをM上のk次元分布と呼ぶ。

(∗) Mの任意の点xに対して、xの開近傍UとU上のベクトル場X₁,. . ., X_kが存在し各点 z ∈Uにおいて(X₁)_z,. . .,(X_k)_zはB_zの基底になる。

M上のベクトル場Xと分布Bが任意の点x∈Mに対してX_x ∈B_xを満たすとき、XはB に属するという。M上の分布Bに属する任意のベクトル場X, Yに対して[X, Y]もまたB に属するとき、Bは完全積分可能であるという。NをMの部分多様体としι:N −→ Mを包含写像とする。M上の分布Bに対して

dι_x(T_x(N)) =Bx (x∈N) が成り立つとき、NをBの積分多様体と呼ぶ。

逆関数定理より次の補題を証明することができる。

補題 1.1.2 Nをn次元多様体Mのk次元部分多様体とする。このとき各x∈Nに対して、

xを含むMの局所座標近傍(U;x₁,. . ., x_n)でx_i(x) = 0, (1≤i≤n)を満たすものが存在し V ={z∈U|x_α(z) = 0 (k+ 1≤α≤n)}

はNにおけるxの開近傍になり、x1,. . ., x_kのVへの制限はNの局所座標系になる。

命題 1.1.3 Mを多様体とし、BをM上の分布とする。Mの各点xに対して、xを含むB の積分多様体が存在するならばBは完全積分可能である。

証明 XとYをBに属するM上のベクトル場とする。Mの各点xに対して、[X, Y]_x ∈Bx

を示せばよい。Nを x を含む B の積分多様体とする。各 z ∈ Nに対して X_z ∈ B_z = dι_z(T_z(N))でありdι_z : T_z(N) −→T_z(M)は単射だからただ1つX_z⁰ ∈ T_z(N)が存在して dι_z(X_z⁰) = X_zを満たす。dimM = n, dimN = kとすると補題1.1.2よりxを含むMの局所座標近傍(U;x₁,. . ., x_n)が存在し

V ={z∈U|x_α(z) = 0 (k+ 1≤α≤n)} 1

(4)

はNにおけるxの開近傍になりx₁,. . ., x_kの Vへの制限y₁,. . ., y_kはNの局所座標系になる。VもBの積分多様体になる。XのUにおける局所表示を

X_z =

Xn i=1

a_i(z) ∂

∂x_i

¯¯

¯_z (z ∈U) とすると各a_iはU上のC^∞級関数である。z ∈Vに対して

dι_z

Ã ∂

∂y_i

¯¯

¯_z

!

= ∂

∂x_i

¯¯

¯_z

だからa_α(z) = 0 (k+ 1 ≤α≤n)で X_z⁰ =

Xk

i=1

ai◦ι(z) ∂

∂y_i

¯¯

¯_z (z ∈V) が成り立つ。よって対応z 7−→X_z⁰はV上のベクトル場になり

dι_z(X_z⁰) =X_z (z ∈V) を満たす。同様にY⁰もV上のベクトル場になり

dι_z(Y_z⁰) = Y_z (z ∈V) を満たす。したがって微分写像とLieブラケット積の関係から

[X, Y]z =dιz([X⁰, Y⁰]z)∈dιz(Tz(V)) =Bz (z ∈V) となる。x∈Vだから[X, Y]_x ∈B_xが成り立つ。

補題 1.1.4 F : M −→ Nを連結な多様体Mから多様体NへのC^∞級写像とする。任意の x∈Mに対してdF_x = 0が成り立つならば、Fは定値写像である。

証明 p∈F(M)をとる。このときM =F⁻¹(p)となることを示そう。まずF⁻¹(p)は1 点の逆像だから閉集合である。次にF⁻¹(p)が開集合になることを示す。x ∈F⁻¹(p)をとる。x∈U, F(U)⊂VとなるMとNの局所座標系(U;x₁,. . ., x_m)と(V;y₁,. . ., y_n)をとることができる。さらにUは連結になるようにとっておく。各z ∈ Uに対してdFz = 0だから、各i, jについて

∂y_j◦F

∂x_i (z) = 0

となって、Fは Uにおいて一定値をとる。よって F(x) = p だから任意の z ∈ Uに対してF(z) = pとなり U ⊂ F⁻¹(p)。以上でF⁻¹(p) は開かつ閉集合になりMは連結だから M =F⁻¹(p)が成り立つ。したがってFは定値写像である。

(5)

1.2 Frobeniusの定理 3

1.2 Frobenius の定理

定理 1.2.1 (Frobenius) Mをn次元多様体としBをM上の完全積分可能なk次元分布と する。このとき、Mの各点xに対してxを含む局所座標近傍(U;x₁,. . ., x_n)が存在し、U は各座標軸の開区間の積になり

{z ∈U|x_i(z) = c_i (k+ 1≤i≤n)} (各c_iは定数)

はBの積分多様体になる。さらにBの連結な積分多様体NがN ⊂Uを満たせば上の形の 積分多様体のうちの1つに含まれる。

証明まず上のような局所座標近傍の存在を分布の次元kに関する数学的帰納法で証明 しよう。k = 1の場合xの開近傍VとV上のベクトル場Xが存在し各点z ∈VにおいてX_z は B_zの基底になる。特にX_z 6= 0である。xを含む Mの局所座標近傍(V₁;y₁,. . ., y_n)を V₁ ⊂Vとなるようにとる。V1におけるXの局所表示を

Xz =

Xn

i=1

ai(z) ∂

∂y_i

¯¯

¯_z (z ∈V1) とする。y1,. . ., y_nを線形変換によってとりかえてX_x = _∂y^∂

1|^xとなるようにできる。常微分方程式

d(y_i◦c(t))

dt =ai(c(t)) (1≤i≤n)

の係数 a_iは C^∞級関数だから、あるε > 0 と Rⁿ⁻¹における 0 の開近傍 Wが存在し各 (b₂,. . ., b_n) ∈ Wに対して初期条件 (y₁(c(0)),. . ., y_n(c(0))) = (0, b₂,. . ., b_n) を満たす上の常微分方程式の解c(t)が−ε < t < εにおいて存在する。

dc(t) dt =

Xn

i=1

d(y_i◦c(t)) dt

∂

∂y_i

¯¯

¯_c(t) =

Xn

i=1

ai(c(t)) ∂

∂y_i

¯¯

¯_c(t)=Xc(t)

となっている。この解をc(t) = c(t;b₂,. . ., b_n)と書く。初期条件に対する常微分方程式の解の可微分性より

τ : (−ε, ε)×W −→V₁ ; (x₁, x₂,. . ., x_n)7−→c(x₁;x₂,. . ., x_n) はC^∞級写像である。τの定義より

dτ₀

Ã ∂

∂x₁

¯¯

¯₀

!

= dc

dt(0) = X_x = ∂

∂y₁

¯¯

¯_x

dτ₀

Ã ∂

∂xi

¯¯

¯₀

!

= ∂

∂yi

¯¯

¯_x (2≤i≤n)

となるので逆関数定理よりxの開近傍U ⊂V₁が存在しx₁,. . ., x_nはUにおける局所座標系になる。さらに局所座標系によってUが各座標軸の開区間の積になるように、Uを取り直すができる。このとき

{z ∈U|x_i(z) =c_i (2≤i≤n)} (各c_iは定数)

(6)

は適当な開区間Iと微分同型なMの1次元部分多様体である。これらの微分同型な2つの多様体を同一視しておく。ι:I −→Mを包含写像とすると

ι(t) = c(t;c2,. . ., cn) (t ∈I) だから

dι_t

Ã d dt

¯¯

¯_t

!

= dc(t)

dt =X_c(t) ∈Bc(t). したがって

dι_z(T_z(I)) = B_z (z ∈I) となってIはBの積分多様体である。さらに

∂

∂x₁

¯¯

¯_z =X_z (z ∈U) が成り立っていることに注意しておく。

k−1次元分布に対して定理で述べた局所座標近傍が存在すると仮定してk次元分布の場 合を証明しよう。xの開近傍VとV上のベクトル場X₁,. . ., X_kが存在し各z ∈ Vにおいて (X₁)_z,. . .,(X_k)_zは B_zの基底になる。特に(X₁)_z 6= 0である。1次元の場合ですでに示したように、xを含む局所座標近傍(V₁;y₁,. . ., y_n)が存在しV₁ ⊂Vで局所座標系によってV₁ は各座標軸の開区間の積になり

∂

∂y1

¯¯

¯_z = (X₁)_z (z ∈V₁) を満たす。X1,. . ., X_kをV₁上のベクトル場とみなし

Y₁ = X₁

Yi = Xi−Xi(y1)X1 (2≤i≤k)

によってV₁上のベクトル場Y₁,. . ., Y_kを定める。ここで、Xi(y₁)は関数y₁に微分作用素とみなしたX_iを作用して得られる関数である。

[Y₁. . .Y_k] = [X₁. . .X_k]







1 −X₂(y₁) . . . −X_k(y₁) 1

. ..

1







だから各z ∈V₁において(Y₁)_z,. . .,(Y_k)_zはB_zの基底になる。Yi (2≤i≤k)のV₁における局所表示を

(Y_i)_z =

Xn j=1

a^j_i(z) ∂

∂y_j

¯¯

¯_z (z ∈V₁)

(7)

1.2 Frobeniusの定理 5 とすると

a¹_i =Y_i(y₁) = X_i(y₁)−X_i(y₁)X₁(y₁) = 0.

したがってY_i (2≤i≤k)のV₁における局所表示は (Y_i)_z =

Xn

j=2

a^j_i(z) ∂

∂y_j

¯¯

¯_z (z ∈V₁) となっている。そこで

S ={z ∈V1|y1(z) =y1(x)}

とおくと Sはn−1次元部分多様体になりy₂,. . ., y_nのSへの制限y⁰₂,. . ., y⁰_nはSの局所座 標系になる。2≤i≤kに対して

(Y_i⁰)_z =

Xn j=2

a^j_i(z) ∂

∂y⁰_j

¯¯

¯z

(z∈S) はS上のベクトル場になり、包含写像ι:S −→V₁に対して

dι_z((Y_i⁰)_z) = (Y_i)_z (z ∈S)

が成り立つ。また各z ∈Sに対して(Y₂⁰)z,. . .,(Y_k⁰)zは線形独立になる。よって B⁰_z =R(Y₂⁰)_z+ . . . +R(Y_k⁰)_z (z ∈S)

とおくとB⁰はS上のk−1次元分布である。

B⁰が完全積分可能であることを以下で示そう。Bは完全積分可能だから各z ∈V₁に対して[Y_i, Y_j]_z ∈B_zとなる。したがってV₁上のC^∞級関数c^p_ijが存在して

[Y_i, Y_j] =

Xk p=1

c^p_ijY_p

とできる。2≤i, j ≤kのときY_i(y₁) =Y_j(y₁) = 0より 0 = [Yi, Yj](y1) =

Xk p=1

c^p_ijYp(y1) =c¹_ij だから

[Yi, Yj] =

Xk p=2

c^p_ijYp

となる。2≤i, j ≤kのとき、z ∈Sに対して dι_z([Y_i⁰, Y_j⁰]_z) = [Y_i, Y_j]_z =

Xk p=2

c^p_ij(z)(Y_p)_z =dι_z



 Xk p=2

c^p_ij ◦ι(z)(Y_p⁰)_z



.

(8)

したがって

[Y_i⁰, Y_j⁰]z =

Xk p=2

c^p_ij ◦ι(z)(Y_p⁰)z ∈B⁰_z. S上のB⁰に属する任意のベクトル場Z1, Z2をとる。定義より

Z₁ =

Xk p=2

d^p₁Y_p⁰, Z₂ =

Xk q=2

d^q₂Y_q⁰ となるV₁上のC^∞級関数d^p₁, d^q₂が存在する。f ∈C^∞(S)に対して

[Z₁, Z₂](f)

= Z₁(Z₂(f))−Z₂(Z₁(f))

=

Xk p=2

d^p₁Y_p⁰(

Xk q=2

d^q₂Y_q⁰(f))−

Xk q=2

d^q₂Y_q⁰(

Xk p=2

d^p₁Y_p⁰(f))

=

Xk p,q=2

{d^p₁Y_p⁰(d^q₂)Y_q⁰−d^q₂Y_q⁰(d^p₁)Y_p⁰+d^p₁d^q₂[Y_p⁰, Y_q⁰]}(f) したがって

[Z₁, Z₂] =

Xk p,q=2

{d^p₁Y_p⁰(d^q₂)Y_q⁰−d^q₂Y_q⁰(d^p₁)Y_p⁰+d^p₁d^q₂[Y_p⁰, Y_q⁰]}

となり[Z₁, Z₂]もB⁰に属する。以上でB⁰が完全積分可能であることがわかった。

B⁰は完全積分可能なk−1次元分布だから帰納法の仮定からxを含むSの局所座標近傍 (W;w₂,. . ., w_n)が存在し局所座標系によってWは各座標軸の開区間の積になり

{z ∈W|wi(z) = ci (k+ 1≤i≤n)} (各ciは定数) はB⁰の積分多様体になる。z ∈V₁に対して

y₁(z⁰) =y₁(x), y₂(z⁰) = y₂(z), . . ., y_n(z⁰) = y_n(z) を満たすz⁰ ∈Sがただ1つ存在する。この対応をπと書く。

π :V₁ −→S;z 7−→z⁰ はC^∞級写像になり

U = {z ∈V₁|π(z)∈W}, x₁ = y₁

xi = wi◦π (2≤i≤n)

とおくと(U;x₁,. . .x_n)はMのxを含む局所座標近傍になり局所座標系によってUは各座標軸の開区間の積になる。

(9)

1.2 Frobeniusの定理 7 以下ではY_iをU上のベクトル場とみなし

Y_i(x_α) = 0 (1≤i≤k, k+ 1≤α ≤n) となることを証明しよう。xjの定義から

∂x_j

∂y1

(z) = δ_j1 (z ∈U) が成り立つ。したがって

(Y₁)_z = (X₁)_z = ∂

∂y1

¯¯

¯_z = ∂

∂x1

¯¯

¯_z (z ∈U) だからY₁(x_α) = 0はわかる。2≤i≤kとする。

∂

∂x₁(Y_i(x_α)) = Y₁(Y_i(x_α)) = [Y₁, Y_i](x_α).

Bは完全積分可能だからU上のC^∞級関数e^p_iが存在して [Y₁, Y_i] =

Xk p=1

e^p_iY_p

が成立する。したがって

∂

∂x1

(Y_i(x_α)) =

Xk p=1

e^p_iY_p(x_α) =

Xk p=2

e^p_iY_p(x_α)

これをI = {z ∈ U|x₂(z) = c₂,. . ., x_n(z) = c_n} (各c_iは定数)で考えるとY_i(x_α) (2 ≤ i ≤ k, k + 1≤ α ≤ n)はx₁の関数になるので上の等式はこれらに関する線形常微分方程式になっている。IはW =S∩Uと1点で交わりz ∈Wにおいて

(Y_i(x_α))(z) = (Y_i⁰)_z(x_α) = dι_z((Y_i⁰)_z)(x_α) = (Y_i⁰)_z(w_α).

他方

{z ∈W|wk+1(z) =ck+1,. . ., wn(z) =cn}

はB⁰の積分多様体だから(Y_i⁰)_z(w_α) = 0となり(Y_i(x_α))(z) = 0。上の線形常微分方程式は恒等的に0になる解を持つので解の一意性より

(Y_i(x_α))(z) = 0 (z ∈I, 2≤i≤k, k+ 1 ≤α≤n) が成り立つ。Iを定める定数c₂,. . ., c_nを動かすことによって

Y_i(x_α) = 0 (2≤i≤k, k+ 1≤α≤n)

(10)

がU上で成立する。

U上で

Y_i(x_α) = 0 (1≤i≤k, k+ 1≤α ≤n) が成り立つのでY_iのUにおける局所表示は

(Y_i)_z =

Xk j=1

b^j_i(z) ∂

∂x_j

¯¯

¯_z (z ∈U) となり

B_z =R ∂

∂x₁

¯¯

¯_z+· · ·+R ∂

∂x_k

¯¯

¯_z (z ∈U) と表せる。したがって

{z ∈U|x_α(z) =c_α (k+ 1 ≤α ≤n)} (各c_αは定数) はBの積分多様体である。

最後にBの連結な積分多様体NがN ⊂Uを満たせば上の形の積分多様体のうちの1つに含まれることを証明しよう。ι:N −→Uを包含写像とする。z ∈N, k+ 1 ≤α ≤nに対して

dι_z(T_z(N)) =B_z =R ∂

∂x₁

¯¯

¯_z+· · ·+R ∂

∂x_k

¯¯

¯_z

(dxα)z

Ã ∂

∂x_i

¯¯

¯_z

!

= 0 (1≤i≤k) だから

0 = (dxα)z◦dιz =d(xα◦ι)z. したがって補題1.1.4よりx_α◦ιは一定値c_αをとり

N ⊂ {z ∈U|x_α(z) = c_α (k+ 1≤α≤n)} が成り立つ。

1.3 極大連結積分多様体

定義 1.3.1 Mを多様体とし実数の閉区間 Iから Mへの写像 c : I −→ Mが Mの曲線¯c : J −→MのIへの制限になっているときcをMの曲線分と呼ぶ。写像γ : [a, b]−→Mに対してa= t₀ < t₁ <. . .< t_k =bが存在し各γ|[ti−1,ti]がMの曲線分になるとき、γをMの区分的曲線分と呼ぶ。

補題 1.3.2 連結多様体の任意の2点は区分的曲線分で結べる。

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Lie 群と等質空間入門

目 次

第 1 章 積分多様体

1.1 分布と積分多様体

1.2 Frobenius の定理

1.3 極大連結積分多様体

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目次

第 1 _{章積分多様体}